SBEM3103 - Diagnosis Dan Penyelesaian Masalah Dalam Matematik

BAHAGIAN A

Soalan 1.

Definisi masalah yang disarankan oleh :

1.1. Greeno.

Mengikut Greno ( 1978 ), masalah merupakan sesuatu situasi di mana anda menghadapi sesuatu keadaan yang diberikan dipanggil sebagai ‘situasi diberikan’ ( The Given State ) dan objektifnya adalah untuk mencapai satu situasi lain yang dipanggil “situasi matlamat” ( The Goal State ) tetapi anda tidak memiliki cara atau kaedah yang jelas untuk mencapai matlamat anda tersebut.

1.2. Polya ( 1945 )

Masalah merupakan sedikit penemuan dalam keadaan kreatif dan rasa ingin tahu yang tinggi, seseorang akan mampu menyelesaikan sesuatu masalah dan mungkin akan mengalami tekanan atau kegembiraan atas kejayaan penemuannya. Beliau juga mencadangkan bahawa “pemikiran” dan “penyelesaian masalah” adalah merupakan satu perkara yang sama di mana kedua – duanya adalah merupakan satu mekanisma untuk keluar dari sesuatu situasi kesukaran, mengatasi halangan dan seterusnya cuba mencapai sesuatu matlamat yang tidak boleh didapati secara serta merta dan akhirnya memperolehi pengalaman daripada penemuan tersebut.

1.3. Mayer ( 1983)

Masalah merupakan beberapa ‘siri langkah operasi mental atau pemikiran’ yang digerakan menuju kearah pencapaian matlamat tertentu.

1.4. Krulik dan Rudnick ( 1983 )

Sesuatu ‘masalah yang baik’ adalah amat penting dalam proses ‘pengajaran penyelesaian masalah’ kepada para pelajar.

1.5. Difinisi masalah bagi pendapat saya.

Masalah adalah situasi yang di alami oleh individu apabila ia menghadapi kekangan untuk mencapai sesuatu matlamat.

Soalan 2

Kepentingan penyelesaian masalah dalam kurikulum matematik sekolah menengah ialah :

2.1. Membina pengentahuan matematik baru melalui penyelesaian masalah.

Penyelesaian masalah telah menjadi sebahagian yang diperlukan dalam mempelajari matematik dengan matlamat bukan sahaja untuk menyelesaikan masalah tersebut tetapi bermaksud melakukannya. Penyelesaian masalah sepatutnya tidak dipisahkan dari kurikulum tetapi sepatutnya diserapkan ke dalam intipati/matematik itu sendiri.

2.2. Menyelesaikan masalah yang timbul dalam matematik dan konteks lain.

Dalam kehidupan seharian dan tempat kerja, seseorang yang mahir dalam penyelesaian masalah adalah satu asset dan kelebihan jika dibandingkan dengan seseorang yang tidak mempunyai kemahiran itu. Penyelesaian masalah bermaksud terlibat dengan masalah di mana penyelesainya belum diketahui.

Penyelesai masalah yang baik mempunyai kecenderungan matematik yang membolehkan mereka menganalisi situasi dengan lebih berhati-hati dalam terma matematik dan secara semulajadi mengemukakan masalah itu dari sudut pandangan mereka sendiri.

2.3. Menggunakan dan mengadaptasikan pelbagai strategi untuk menyelesaikan

masalah.

Mendedahkan masalah kepada pelajar dapat mewujudkan peluang kepada mereka untuk menjadi tekal dan dapat meluaskan lagi pengetahuan mereka dan merangsang pembelajaran baru. Dengan demikian kita dapat menggunakan pendekatan asas masalah untuk membantu pelajar mempelajari matematik yang mana menggunakan soalan yang berkaitan dengan pelajar itu sendiri. Contohnya; Pelajar sekolah menengah boleh menganalisis jus belimbing yang lebih sedap berdasarkan beberapa resepi yang dicampurkan dengan menggunakan sukatan air yang berbeza-beza. Ketika pelajar cuba menggunakan cara berlainan untuk menyelesaikan masalah, guru boleh membantu mereka untuk menumpukan perhatian dalam penggunaan bahagian-bahagian matematik, menyediakan pengenalan yang bermakna kepada konsep yang susah.

2.4. Mengawasi dan memberi maklumbalas tentang proses penyelesaian masalah dalam matematik.

Guru memainkan peranan penting dalam penyediaan kebolehan penyelesaian pelajar. Mereka mesti memilih masalah-masalah yang membolehkan pelajar mengingatinya. Mereka perlu mewujudkan persekitaran yang boleh mengalakkan untuk menjelajah, mengambil risiko, berkongsi kegagalan dan kejayaan danbertanyakan soalan antara satu sama lain. Dalam

suasana yang menggalakkan ini, pelajar akan dapat membina keyakinan yang diperlukan untuk menjelajahi permasalahan dan meningkatkan kebolehan untuk membuat penyesuaian terhadap strategi penyelesaian masalah mereka.

2.5. Penyelesaian masalah matematik boleh menceriakan kehidupan pelajar kerana ia diperlukan dirumah terutama dalam perhubungan pelajar dengan orang lain dan alam sekitarnya.

2.6. Penyelesaian masalah matematik lebih menarik dan lebih mencabar berbanding dengn hanya melibatkan latihan dan latih – tubi.

Kajian menunjukkan prestasi pelajar boleh meningkat apabila terlibat dengan proses penyelesaian masalah. Ini adalah kerana penyelesaian masalah memberikan peluang kepada pelajar untuk melihat hubungkait antara idea – idea matematik . Ini boleh membantu menjadikan pembelajaran matematik lebih mencabar serta lebih menarik dan bukan lagi sesuatu yang membosankan.

2.7. Pengalaman dalam penyelesaian masalah, membolehkan pelajar menghasilkan idea baru dan boleh menghasilkan penyelesaian yang inovatif apabila berhadapan dengan masalah.

2.8. Penyelesaian masalah juga dapat menggalakkan pelajar berfikir secara heuristic. Di mana pelajar digalakan untuk ‘mencuba dan belajar dari kesilapan’ dalam mencari penyelesaian sesuatu masalah. Ia pasti akan dapat membantu membangunkan kemahiran menyelesaikan masalah para pelajar di dalam kelas mahupun di dalam kehidupan sebenar sehari – hari.

Soalan 3

3.1. Menurut model penyelesaian masalah Polya, beliau mengemukan 4 langkah dalam proses penyelesaian masalahnya. Langkah – langkah ini berturutan terdiri daripada:

3.1.1. Langkah memahami masalah- Ia merupakan langkah terpenting kerana kegagalan dalam mengenal pasti masalah dengan tepat menyebabkan proses penyelesaian menjadi sukar. Kita perlu mengenal masalah tersebut sama ada masalah itu dalam bentuk struktur atau bentuk tidak berstruktur.

3.1.2. Merancang tindakan- Dalam merancang tindakan, kita perlu melihat apakah strategi-strategi yang sesuai untuk digunakan dalam proses penyelesaian.

3.1.3. Melaksanakan tindakan- Proses ini merupakan proses melaksanakan segala perancangan yang telah ditetapkan untuk menyelesaikan masalah yang timbul.

3.1.4. Penilaian- Proses melihat kembali kejayaan penyelesaian masalah yang dilakukan. Sekiranya tidak berjaya, alternative lain boleh difikirkan untuk menyelesaikannya semula.

3.2. Manakala model penyelesaian masalah yang dikemukan oleh Schoenfeld pula terdiri daripada 5 iaitu :

3.2.1. Analisa masalah - memahami masalah yang dikemukakan dan mempermudahkan masalah tersebut serta membina semula masalah daripada maklumat baru.

3.2.2. Aplikasi formula

3.2.3. Merekabentuk kembali masalah melalui siasatan yang dilakukan

3.2.4. Melaksanakan langkah demi langkah pengesahan.

3.2.5. Cadangan penyelesaian

3.2.6. Pengesahan untuk langkah-langkah dan nilai-nilai cadangan penyelesaian.

3.2.7. Pengesahan proses penyelesaian.

Soalan 4

4.1 3 komponen penyelesaian masalah

4.1.1. Pengentahuan isi dan jalan penyelesaian dalam julat tertentu.

4.1.2. Pengentahuan tasit (tacit knowledge) atau gerak hati. (berdasarkan pengalaman)

4.1.3. Kemahiran menggunakan strategi penyelesaian masalah.

4.2. 1. Kemahiran menggunakan strategi penyelesaian masalah.

Seseorang individu yang berhadapan dengan situasi bermasalah mestilah tahu untuk menggunakan strategi penyelesaian masalah. Ini boleh membantu seseorang itu dapat menyelesaikan masalah yang dihadapinya dengan lancar dan berkesan. Kesemua kemahiran yang telah ditakrifkan seperti mengkelaskan, menguji konsistensi, mengecam perhubungan, memotivasi dan menegaskan, kemahiran antara perorangan dan kumpulan, kesedaran tentang bagaimana seseorang berfikir, stail pembelajaran, keutamaan dalam memproses maklumat

dan sebagainya. Polya (1945) telah mencadangkan 4 kemahiran dalam penyelesaian masalah iaitu memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan menyemak semula jawapan yang diperolehi. Contohnya, Sabri seorang peniaga nasi ayam pasar malam mempunyai masalah untuk mendapatkan pelanggan. Oleh itu, dia perlu memahami apakah masalah yang menimpanya dan merancang strategi untuk mengatasinya. Dia juga harus mempunyai kemahiran yang baik menggunakan strategi yang dirancang bagi menyelesaikan masalahnya. dan seterusnya menarik lebih ramai pelanggan ke gerainya.

2. Pengentahuan isi dan jalan penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah seseorang itu perlu mengentahui isi masalah dan jalan penyelesaiannya. Contohnya, seseorang pelajar yang kurang memahami tajuk Trigonometri dan Kalkulus dalam pelajaran Matematik perlu mempunyai pengentahuan yang dibina, disusun secara berstruktur dan mengentahui jalan penyelesaian untuk mengatasinya seperti memperbanyakkan latihan dan sentiasa bertanyakan guru-guru dan rakan-rakan yang lebih mahir tentang tajuk ini.

Soalan 5

5.1. Senarai tujuan pengajaran mode pengajaran penyelesaian masalah matematik

1. Praktikal

2. Teknologikal

3. Pedagogikal

4. Penyelesaian masalah

5. Kognitif

6. Afektif

7. Interaktif

8. Pembelajaran Aktif

9. Metakognitif

10. Budaya

11. Penilaian

12. Dunia sebenar

5.2. Praktikal

Mengajar Matematik dalam persekitaran masa, ruang dan sumber yang sesuai.

5.3. Metakognitif

Membina keupayaan pelajar untuk mengawas, mengawal dan membuat gambaran pada proses kognitif mereka.

5.4. Penilaian

Merekod pencapaian pelajar, mendapatkan maklumat peningkatan serta memenuhi keperluan sekolah, negeri dan piawai kebangsaan.

BAHAGIAN B

Soalan 1

a). 3 strategi pengajaran penyelesaian masalah matematik yang dicadangkan oleh Schroeder dan Lester (1989) ialah:

1. Pengajaran tentang Penyelesaian Masalah.

2. Pengajaran untuk Penyelesaian Masalah.

3. Pengajaran melalui Penyelesaian Masalah.

b).

• Pengajaran tentang Penyelesaian Masalah – Penerangan tentang proses Penyelesaian Masalah diikuti oleh beberapa strategi dalam Penyelesaian Masalah yang disediakan oleh guru.
• Pengajaran untuk Penyelesaian Masalah – Mengajar secara berterusan penggunaan aplikasi yang mereka ajar. Mereka menggunakan situasi persekitaran sebenar untuk memperkenalkan konsep baru dan kemahiran pelajar dan pembangunan berkesan tentang pelajaran yang baru dalam aplikasi penegasan benda yang wajar. Ini diikuti dengan pengenalan dan penggunaan dalam proses dan strategi Penyelesaian Masalah. Hubungan antara matematik dengan diri sebenar telah dibuat tetapi penekanan masih lagi keatas strategi yang dipelajari.
• Pengajaran melalui Penyelesaian Masalah – Masalah bukan sahaja dinilai sebagai tujuan mempelajari matematik tetapi juga sebagai makna melakukannya. Dalam hal ini, mengajar topik matematik bermula dengan situasi permasalahan yang menjadi aspek terpenting dalam sesuatu topik. Kemudian teknik-teknik matematik dicipta dan dibangunkan sebagai respon bermakna kepada masalah bermakna. Matlamat matematik aalah untuk menukarkan masalah yang bercelaru kepada bentuk masalah yang tersusun atur.

Belajar matematik dengan cara ini boleh dilihat sebagai pergerakkan daripada konkrit ( masalah sebenar yang boleh diselesaikan dengan kaedah matematik ) kepada abstrak ( penyampaian secara simbolik tentang kelas masalah dan teknik untuk mengoperasi dengan simbol-simbol ini)

Soalan 2

a). Sepuluh strategi penyelesaian masalah yang dicadangkan oleh kurikulum ialah:

· Mencari pola – pola

· Melukis gambar atau rajah

· Tekaan dan Semakan

· Membuat sesuatu jadual

· Menggunakan sesuatu model

· Gerak kerja ke belakang

· Menggunakan Penaakulan Induktif

· Menyelesaikan masalah dengan lebih mudah dan mencari corak

· Melakonkan masalah

· Menyiasat semua kemungkinan

b).

1. Strategi tekaan dan semakan

Strategi ini digunakan biasanya digunakan apabila orang yang belajar tidak tahu menyelesaikan masalah dengan lebih cekap atau tidak dapat menyelesaikan masalah dengan lebih tepat. Contoh soalan dan cara penggunaan strategi dalam penyelesaiannya:

Puan Durani menghantar 32 poskad dan surat. Harganya berjumlah RM8.35. Poskad berharga 29 sen setiap satu dan surat berharga 33 sen setiap satu. Berapa banyakkah dia dapat menghantar poskad dan surat?

Strategi penyelesaian:

a). Memahami masalah

Jumlah bayaran pos bagi 32 poskad dan surat ialah RM 6.35. Poskad berharga 20 sen setiap satu dan setiap surat berharga 33 sen untuk diposkan. Kita perlu pastikan berapa banyak poskad dan surat dapat dihantar?

b). Membuat satu perancangan

Jika kita menganggap bilangan poskad ialah 10. Ini menunjukkan bilangan surat ialah 32-10 = 22. Jika ia betul, jumlah bayaran akan menjadi ( 10 X 20 sen ) + ( 22 X 33 sen ) = RM 9.26. Ini menunjukkan 10 poskad dan 22 surat akan memberi kos yang lebih tinggi. Jadi buat anggaran lain

c). Menjalankan rancangan

Sila kemukakan anggaran yang lain sehingga mendapat jawapan yang didapati akan memberi keputusan yang betul.

d). Menilai semula

Setiap kali membuat tekaan, nilai semula dan lihat bagaimana jawapan yang didapati akan memberi keputusan yang betul. Buat satu kejutan untuk memahami strategi ini.

2. Strategi membuat jadual

Penyelesaian masalah menjadi lebih senang apabila kita menyenaraikan semua kemungkinan. Membuat jadual adalah cara yang paling baik untuk membuat senarai. Jadual boleh digunakan untuk meringkaskan data atau untuk membantu kita untuk melihat corak penyelesaian. Ia membantu kita menimbangkan semua kemungkinan penyelesaian kepada masalah yang diberi. Contoh: Liswa dan Lisda mendapat sejumlah wang yang sama walaupun seorang bekerja 6 hari lebih daripada seorang lagi. Jika Lisda mendapat RM 36 sehari dan Liswa mendapat RM 60 sehari, berapa hari setiap seorang bekerja?

Penyelesaian:

a). Memahami masalah

Jawab beberapa soalan untuk mendapat penjelasan mengenai masalah. Berapa banyak Lisda dapat dalam masa 3 hari? Adakah Lisda mendapat wang selama 3 hari bekerja sama banyak dengan Liswa dapat wang selama 2 hari bekerja? Untuk RM 180, ia memerlukan Lisda bekerja 5 hari dan Liswa bekerja 3 hari. Liswa perlu bekerja selama 9 hari untuk mendapatkan wang sebanyak RM 540. Perbezaan bilangan hari bekerja Lisda dan Liswa adalah 6 hari. Ini adalah beberapa soalan yang boleh ditanya. Anda boleh menyambung senarai soalan dengan soalan yang senang tetapi berkaitan.

b). Membuat satu perangcangan

Satu cara untuk menyelesaikan masalah ialah menyenaraikan jumlah pendapatan setiap orang dari hari

pertama. Berdasarkan senarai ini, apakah jumlah bayaran yang sama banyak untuk kedua-dua mereka dengan salah seorang daripada mereka bekerja 6 hari lebih untuk mendapatkan sejumlah itu?

c). Melaksanakan rancangan

Jadual yang lengkap ditunjukkan di bawah. Ada 3 jumlah ruang Lisda yang sama dengan jumlah ruang Liswa. Ia mengambil masa 15 hari untuk Lisda mendapat RM 540. Berapa banyak hari Liswa ambil untuk mendapatkan RM 540 dan berapakah perbezaan bilangan hari setiap orang perlukan untuk mencapai jumlah itu?

Bilangan hari	Bayaran untuk Lisda	Bayaran untuk Liswa
1	36	60
2	72	120
3	108	180
4	144	240
5	180	300
6	216	360
7	252	420
8	288	480
9	324	540
10	360	600
11	396	660
12	432	720
13	468	780
14	504	840
15	540	900

Apabila Lisda berkeja selama 15 hari dan Liswa 9 hari ( perbezaan 6 hari) mereka mendapat bayaran RM 540 setiap orang.

d). Menilai semula

Anda perhatikan setiap hari bekerja, Lisda mendapat RM 180 dan dalam setiap 3 hari Liswa berkerja, dia mendapat RM 180. Bagaimana penelitian ini menunjukkan cara yang berbeza untuk menjawab soalan yang sebenar?

3). Strategi Menyelesaikan masalah dengan lebih mudah dan mencari corak.

Strategi menyelesaikan masalah dengan lebih mudah dan mencari corak ditunjukkan pada contoh dibawah. Strategi ini melibatkan permudahan satu masalah atau menyelesaikan masalah yang lebih mudah tetapi berkaitan yang mana akan membantu dalam memahami maklumat yang diberi.

Contoh:

Ada 15 orang dalam satiu bilik dan setiap orang berjabat tangan sekali dengan orang lain. Berapa banyak salaman yang berlaku?

Penyelesaian:

a). Memahami masalah atau soalan- Untuk setiap pasangan orang akan ada satu salaman. Contohnya jika Ali dan Abu bersalam ini dikira satu salaman. Jadi masalah yang perlu diselesaikan ialah untuk menentukan jumlah / bilangan cara 15 orang boleh dipasangkan. Berapa banyak salam akan berlaku apabila 3 orang bersalaman?

b). Bentukkan satu rancangan- Susah untuk kita mengira 15 orang pada satu masa. Kita permudahkan masalah dan kira jumlah salaman untuk kumpulan orang yang lebih kecil. Menyelesaikan masalah yang mudah ( istimewa ) ini mungkin boleh memberi idea untuk menyelesaikan masalah asal. Berapakah jumlah salaman dalam kumpulan 4 orang?

c). Laksanakan rancangan- Kita telah tahu bahawa ada satu salam untuk 2 orang salam, 3 salam untuk 3 orang dan 6 salam untuk 6 orang. Katakan masuk orang kelima ke dalam kumpulan. Orang ini akan bersalaman dengan dengan 4 orang tadi yang akan menambah 4 salaman lagi kepada jumlah salaman. Begitulah juga apabila kita membawa masuk orang ke 6. Orang ini akan bersalaman dengan 5 orang sebelumnya, lalu bertambah 5 lagi salaman. Kita boleh melihat satu corak terbentuk iaitu orang ke 5 menambah 4 salam, orang ke 6 menambah 5 salam, orang ke 7 menambah 6 salam dan seterusnya hinggalah orang yang ke 15 menambah 14 salam, berapa banyak salam akan dilakukan oleh 15 orang?

d). Renung kembali dengan melihat kepada kes-kes istimewa yang melibatkan nombor lebih kecil daripada 15, kita mendapat pemahaman dengan lebih baik mengenai soalan dan idea untuk menyelesaikannya. Corak yang terbentuk mencadangkn satu cara untuk menentukan jumlah saluran.

Untuk seberapa ramai iaitu dengan menambahkan nombor bulat bermula dari nombor 1 kepada bilangan orang. Satu daripada jumlah bilangan orang . Gunakan tangga untuk membentuk satu formula untuk mengira jumlah sebegini. Bagaimanakah formula ini boleh digunakan untuk menentukan jumlah salaman untuk 15 orang?

4). Strategi Gambar-gambar dan Diagram-diagram.

Satu strategi yang paling membantu dalam memahami sesuatu masalah dan mengembangkan idea untuk sesuatu penyelesaian masalah ialah melukis gambar dan diagram. Kemungkinan besar anda pernah dengar satu rangkaikata “ satu gambar bernilai beribu-ribu perkataan”. Dalam masalah berikut, gambarajah akan membantu untuk menyelesaikan masalah.

Contoh:

Sempena hari lahir isterinya, Encik Baha merancang satu parti makan malam di bilik rekreasi. 22 orang tetamu dijemput ke parti itu. Untuk memastikan semua orang mendapat tempat, Encik Baha perlu meminjam kad meja contohnya satu meja yang boleh meletakkan seorang di setiap bahagian. Dia mahu menyusun meja dalam bentuk 4 segi supaya kelihatan seperti satu meja besar. Sekurang-kurangnya berapa banyak meja yang perlu dipinjam oleh Encik Baha? Encik Baha menggunakan 4 langkah proses Polya dalam menyelesaikan masalah seperti berikut:

Penyelesaian

a). Memahami masalah- Meja mesti diletakkan bersebelahan, tepi dengan tepi, supaya ianya membentuk satu meja 4 segi yang besar. Jika 2 meja diletakkan hujung bertemu hujung seperti gambarajah di bawah, berapa ramai orang boleh duduk.

b). Membuat perancangan- Melukis gambar beberapa penyusunan yang mungkin berlaku kepada kad mja merupakan pendedahan yang biasa dibuat dalam menyelesaikan masalah jenis ini. Di sana ada beberapa kemungkinan. Meja-meja boleh disusun dalam satu barisan yang panjang atau boleh atau tidak boleh disusun dalam satu barisan yang panjang atau boleh atau tidak boleh disusun dalam 2 barisan yang bersambung tepi dengan tepi untuk membentuk satu barisan meja dan lain-lain. Menggunakan 5 kad meja, berapa ramai orang boleh duduk jika meja disusun hujung dengan hujung dalam satu barisan.

c). Melaksanakan perancangan- Gambarajah di bawah menunjukkan 2 daripada 5 kemungkinan penyusunan meja. ‘x’ menunjukkan 22 orang yang akan menghadiri parti hari lahir itu.

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

Baki penyusunan, 2 X 4, 4 X 7 dan 5 X 6 memerlukan 24, 28 dan 30 kad meja. Berapakah kad meja yang minima

d). Menilai kembali- Gambarajah menunjukkan satu barisan kad meja memerlukan meja yang paling sedikit kerana di akhir meja menyediakan tempat duduk untuk 3 orang dan selebihnya menyediakan tempat duduk untuk 2 orang. Pada penyusunan yang lain, di hujung kedua meja hanya menyediakan tempat duduk untuk 2 orang dan selebihnya disediakan untuk satu orang. Jadi, dengan tidak memisahkan bilangan orang, satu barisan merupakan penyusunan yang menggunakan kad meja yang paling kurang dengan syarat bilik itu cukup besar untuk memuatkan panjang barisan. Berapakah bilangan kad meja yang diperlukan untuk menyediakan tempat duduk untuk 38 orang.